- شهود غریزی و ریاضیات:
تا اواخر قرن نوزدهم میلادی، تئوری های ریاضی بر اساس شهود یا بدیهیات بنیان نهاده می شدند. این نحوه تفکر که از فیثاغورس، افلاطون و ارسطو و همچنین سایر حکما و فلاسفه(فیلسوف اینجا در برابر سوفسطایی مطرح می گردد.) یونان باستان به ارث رسیده بود در اثر پیشرفت های تاریخی ریاضیات و منطق، اقتدار و استیلای مطلق خود را از دست داد و این نکته مهم آشکار شد که لزوما قضایای ریاضی با شهود مطابق نیستند. این واقعیت به خصوص در مواجهه با پارادوکس مجموعه های راسل بیشتر آشکار شد.
مفهوم مجموعه یک مفهوم انتزاعی بوده و قرار دادن اشیاء در مجموعه های مختلف حاصل کارکرد ذهن است به بیان دیگر جهان واقع به خودی خود فاقد مجموعه بندی است و این ذهن انسان است که اشیاء را درون مجموعه های مختلف قرار می دهد. قرار دادن اشیاء درون مجموعه های مختلف حاصل قرارداد هایی است که در زبان صورت می گیرد. مثلا مجموعه افراد یک شهر بر اساس یک قرارداد جغرافیایی- اقلیمی مشخص
می شوند یا مجموعه اعداد صحیح حاصل یک تعریف ریاضیاتی است. درباره مجموعه عناصر شیمیایی نیز می توان ادعا کرد جهان شیمیایی خود به خود فاقد این دسته بندی است.
مجموعه هایی که در جهان محسوسات و عینی روزمره با آن ها مواجهیم تعداد اعضای محدودی دارند. اما مجموعه ها در جهان ریاضی متفاوتند و مجموعه هایی که دارای بینهایت عضو باشند یک امر معمول در این جهان است. با توجه به انتزاعی بودن مفهوم مجموعه، قرارگیری بینهایت عضو (بینهایت یک مفهوم انتزاعی است) درون یک مجموعه نیز قابل مطرح است. یکی دیگر از این مفاهیم انتزاعی این است که یک مجموعه را عضو خودش بدانیم. چنین چیزی درباره مجموعه هایی اعضای آنها اشیای عینی و واقعی اند ممکن نیست. چرا که یک مجموعه از اشیاء دارای اعضایی است که جنس آنها با جنس مجموعه متفاوت است. مثلا مجموعه کتابهای یک انتشارات شامل اشیایی از جنس کتاب است. مجموعه هایی این قابلیت را دارند که در درجه اول اعضایشان مجموعه باشد. اما اگر اعضا با کل مجموعه همرده نباشد این باز این قابلیت ممتنع است. مثلا مجموعۀ "مجموعه کتاب های گروه های سنی مختلف" ، یک مجموعه است با اعضایی که خودشان هم مجموعه اند اما رده مجموعه مذکور با سایر اعضایش متفاوت بوده و از آنها بالاتر است. درباره خاصیت همرده بودن توضیحات بیشتری ارائه خواهد شد. این خاصیت در نظریه انواع راسل مطرح شده است. یکی از این مجموعه ها که طبق تعریف با اعضایش همرده شمرده می شود مجموعه ای است که حاوی تمامی مجموعه ها باشد. در اینجا عینیت و شهود به کنار می رود و و یک تعریف منطقی- ریاضی برای ساخت این مجموعه لازم می آید. اشاره شد جهان واقع به خودی خود فاقد چیزی به نام مجموعه است چراکه در درجه اول مجموعه حاصل یک تعریف منطقی- ریاضی است لذا تا این تعاریف نباشند مجموعه ای هم نخواهد بود بدین ترتیب از نظر نگارنده مجموعه تمامی مجموعه ها هم یک مفهوم کاملا غیر واقعی است.
- ورود به پارادوکس راسل:
برتراند راسل در نقدی که به کتاب قوانین اساسی حساب گوتلب فرگه وارد کرده بود یک مسئله جدلی الطرفین را مطرح کرد که شکل پالوده آن به این صورت است:
مجموعه A وجود دارد که اعضای آن مجموعه های X هستند که عضو خودشان نیستند. آیا A عضو خودش هست یا نه؟
این مسئله از این رو جدلی الطرفین است که در هر صورت به تناقض می انجامد به این ترتیب که:
آیا A می تواند یکی از این X ها باشد، یعنی A عضو خودش هست یا نه؟ واضح است که A عضوی از A است اگر و فقط اگر A عضوی از A نباشد. بنابراین می توان نتیجه گرفت A عضوی از A هست و در عین حال A عضوی از A نیست. همانگونه که مشاهده می گردد با تناقض مواجهیم. این تناقض از تعریف مجموعه انتزاعی A یعنی مجموعه از مجموعه هایی که عضو خودشان نیستند نشات می گیرد. سوالی که در ادامه محور بحث است این است که تناقض در یک قضیه انتزاعی منطقی – ریاضی چه چیزی را در عالم واقع و اشیاء محسوس بیان می کند؟
- راه حل راسل برای برون شد از این چالش:
راه حلی که راسل پیشنهاد کرد، نظریه انواع نام داشت که البته قوامی نداشت و دوامی نیافت. راسل نظریه انواع را برای تطبیق با منطق ریاضی وار فرگه عرضه کرد. به عبارت دیگر راسل در پی آن بود یک مسئله غیرشهودی و ناموافق با زبان عادی روزمره را با توسل به زبان ریاضی حل کند. مقدمتا راسل توابع گزاره ای را تحت تاثیر فرگه مطرح می کند به این صورت که یک گزاره می تواند به صورت" X، Y است." مطرح می گردد. بر حسب اینکه Y چه باشد، برای X می توان حوزه اطلاق و حوزه صدق تعریف کرد. راسل مثال می زند که برای گزاره تابعی X ناطق است، اگر X را سقراط بگیریم عبارت صادق است پس سقراط در حوزه صدق قرار دارد. اما اگر به جای انسان از مجموعه انسان ها استفاده کنیم این عبارت یعنی مجموعه انسان ها ناطق است، بی معنی خواهد بود. علتی که راسل می آورد این است که مجموعه انسان ها، انسان یا عینی نیست که ناطق بودن یا نبودن به نحو معناداری برآن قابل اطلاق باشد و معمولا در حوزه اطلاق این تابع گزاره ای نیست. این نحوه معنادار انگاشتن راسل می تواند ریشه در معناداری گزاره ها در حلقه وین داشته باشد. طبق آنچه زمانی حلقه وین بر آن تاکید داشت گزاره ای معنادار است که نحو جستجوی صدق آن معلوم و یک فرایند کاملا تجربی باشد. به عبارت دیگر از منظر راسل معناداری یک گزاره فارغ از قواعد منطقی بایستی به صورت تجربی تحقیق پذیر باشد.
- تناقض و امر واقع:
از نگر نگارنده اگر قرار باشد برای تحقیق معناداری به جهان واقع رجوع کنیم، صحبت از تناقض نیز وجهه و موضوعیت خود را از دست می دهد چراکه در جهان واقع تناقض پدیدار نمی گردد. تناقض امری است زبانی که یا به زبان منطق یا به زبان ریاضیات بیان می شود. در اینجا تعریف یک مجموعه به جایی ختم شد که ما با تناقض مواجه شدیم. نکته ای که نظر را به خود جلب می کند این است که بایستی به خاصیتی از زبان توجه شود که به واسطه آن زبان می تواند اموری این چنینی (مثل تناقض) را ایجاد کند. سوال اینجاست که چه چیزی ذهن را توانا می سازد تا از اموری خلاف یا متضاد با واقعیت حرف بزند؟ شاید جهانی وجود داشته باشد که حاوی همین امور باشد. جهانی که آنچه ما متناقض می دانیم و متعاقبا وجود آن را ممتنع می انگاریم، وجود دارند. نگارنده نام آن جهان را پادجهان می گذارد. اگر عبارتی مثل درخت انجیر در باغچه ما هست و نیست. (به عبارتی درخت انجیر هم در باغچه ما هست و هم نیست) را به عنوان یک عبارت که مظهر عبارات متناقض نماست در نظر بگیریم، برای انحلال این متناقض نما و جور افتادن آن با واقعیت محسوس گفته می شود درخت انجیر در باغچه ما یا هست یا نیست. از نظر راقم این سطور شکل این گزاره برای اینکه قابلیت آزمون پذیری در عالم واقع را داشته باشد به این صورت است که درخت انجیر در باغچه ما یا محسوس هست یا محسوس نیست.
محسوس بودن از مولفه های این جهان است که برای ما واقعی است. اما آیا خارج از این عالم محسوسات جهان دیگری وجود دارد که چیزها در آن محسوس نباشد و لذا اموری مثل تناقض در آن روی ندهد؟ اگر چنین جهانی وجود دارد رابطه اش با جهان ما چگونه است؟ آیا راهی برای شناخت آن هست؟ اصلا آیا جهان واقع ما و پادجهان مذکور لایه هایی از هستی نیستند؟ امکان در هم تنیدگی این لایه ها وجود ندارد؟
+ نوشته شده در شنبه دهم تیر ۱۳۹۱ ساعت 0:32 توسط مجتبی فرقانی
|